L'arbre des nombres premiers

Un nombre apparaît en haut de l'écran : 84. Par quel nombre premier se divise-t-il ? Tu touches 2, et le nombre se fend en deux branches : une lanterne 2 qui s'allume, et un 42 qui reste à fendre. Encore 2, puis 3, et il reste 7, qu'aucune touche ne peut plus couper : tu le déclares premier, il s'allume à son tour, et la décomposition s'écrit sous l'arbre, 84 = 2² × 3 × 7. Le nombre suivant arrive aussitôt.

L'arbre des nombres premiers est un jeu de calcul pour apprendre, réviser ou simplement s'entraîner à décomposer un nombre en facteurs premiers. Une partie, c'est une série de huit nombres, contre la montre. Il se joue dans le navigateur, au doigt sur un téléphone comme à la souris ou au clavier, sans inscription ni téléchargement. Il s'adresse aux élèves du collège et du lycée, et à toute personne qui aime les nombres.

Comment jouer

Chaque arbre commence par un nombre composé, posé tout en haut. Sous lui, une palette de touches : les petits nombres premiers, et une touche violette marquée « Premier ».

• Touche un nombre premier qui divise le nombre en cours : le nombre se fend. Le diviseur pend d'un côté de la branche, déjà allumé, et le quotient continue de descendre au centre. Tu fends ensuite ce quotient, et ainsi de suite.
• Touche « Premier » quand le nombre au bout de la branche ne se divise plus : il s'allume, et l'arbre est fini. Si ce dernier nombre figure dans la palette, tu peux aussi toucher sa propre touche : 7 ne se fend qu'en 7.
• Lis la décomposition. Quand toutes les feuilles sont allumées, le produit s'écrit en entier, avec les puissances : 360 = 2³ × 3² × 5. Puis l'arbre suivant pousse.

Une ligne, entre l'arbre et la palette, commente chaque geste : « 84 = 2 × 42 », puis « 42 = 2 × 21 ». Quand tu te trompes, elle explique pourquoi, en une phrase. Si tu choisis 5 pour 84, elle te rappelle que 84 ne finit ni par 0 ni par 5. Si tu déclares premier un nombre qui ne l'est pas, elle te montre sa décomposition : « 91 n'est pas premier : 91 = 7 × 13 ». Après deux mauvais diviseurs de suite sur le même nombre, la bonne touche se met à briller.

Qu'est-ce qu'un nombre premier ?

Un nombre premier est un nombre entier qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. 2, 3, 5, 7, 11 et 13 sont premiers ; 12 ne l'est pas, puisqu'il se divise aussi par 2, 3, 4 et 6. Le nombre 1 n'est pas premier : il n'a qu'un seul diviseur. Et 2 est le seul nombre premier pair, puisque tous les autres nombres pairs se divisent par 2.

Il y a vingt-cinq nombres premiers inférieurs à 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97. Les connaître de mémoire fait gagner un temps précieux dans le jeu, et dans tout le calcul au collège. Il y en a une infinité : plus de deux mille ans avant nous, Euclide l'a démontré en remarquant que si l'on multiplie tous les premiers d'une liste finie et qu'on ajoute 1, le résultat n'est divisible par aucun d'eux.

Pour les trouver tous jusqu'à une borne, il existe une méthode célèbre, le crible d'Ératosthène. On écrit les nombres de 2 à 100, on entoure 2 et on barre tous ses multiples, puis on entoure le premier nombre qui n'est pas barré, 3, et on barre ses multiples, et ainsi de suite. Les nombres qui restent entourés sont les premiers. Dans le jeu, l'écran de départ montre un petit jardin de ces vingt-cinq nombres : chacun s'allume la première fois que tu le fais briller dans un arbre.

La décomposition en facteurs premiers

Tout nombre entier à partir de 2 s'écrit comme un produit de nombres premiers, et d'une seule façon, à l'ordre près. C'est le théorème fondamental de l'arithmétique. Peu importe par quel bout tu commences : que tu fendes 60 par 2, par 3 ou par 5, tu finiras toujours avec les mêmes feuilles, 2, 2, 3 et 5, soit 60 = 2² × 3 × 5. Les nombres premiers sont en quelque sorte les briques élémentaires de tous les autres.

La méthode la plus sûre est celle des divisions successives : essaie 2 tant que le nombre est pair, puis 3, puis 5, puis 7, et ainsi de suite. Un repère te fait gagner beaucoup de temps : il suffit d'essayer les nombres premiers dont le carré ne dépasse pas le nombre. Pour savoir si 97 est premier, inutile d'aller au-delà de 7, puisque 11 × 11 = 121 dépasse déjà 97. Ni 2, ni 3, ni 5, ni 7 ne divisent 97 : il est premier. C'est pour cette raison que la palette s'arrête à 7 au premier niveau, où les nombres ne dépassent pas 100.

Les critères de divisibilité

Pour fendre vite, il faut reconnaître un diviseur d'un coup d'œil. Voici les critères les plus utiles :

• Par 2 : le nombre est pair, il finit par 0, 2, 4, 6 ou 8.
• Par 3 : la somme de ses chiffres est un multiple de 3. Pour 741, 7 + 4 + 1 = 12 : 741 se divise par 3.
• Par 5 : il finit par 0 ou par 5.
• Par 9 : la somme de ses chiffres est un multiple de 9. Si un nombre se divise par 9, tu peux le fendre deux fois par 3.
• Par 11 : pour un nombre de trois chiffres, le premier moins celui du milieu plus le dernier donne 0 ou 11. Pour 143, 1 − 4 + 3 = 0 : 143 = 11 × 13.
• Par 7 : pas de critère aussi simple, mais une astuce. Retire le dernier chiffre, double-le et soustrais-le au reste. Pour 91 : 9 − 2 × 1 = 7, un multiple de 7, donc 91 aussi.

Au-delà, pour 13, 17, 19 ou 23, il n'y a plus de raccourci : il faut poser la division de tête. C'est tout l'enjeu des niveaux supérieurs.

Trois niveaux

Le niveau se choisit avant de commencer, sur l'écran de départ.

• Jeune pousse : des nombres jusqu'à 100, une palette de quatre touches, 2, 3, 5 et 7. Le bon niveau pour découvrir les nombres premiers, dès la fin de l'école primaire. Il rapporte 60 % des points.
• Arbuste : des nombres de 100 à 999, et les premiers jusqu'à 31. La plupart des nombres ont au moins trois facteurs, et le dernier peut être un grand premier comme 47 ou 73, qu'il faut savoir reconnaître. Il rapporte 80 % des points.
• Grand chêne : des nombres de 1 000 à 9 999, avec au moins deux facteurs de deux chiffres. Des arbres comme 8 959 = 17² × 31 demandent de vraies divisions de tête. Il rapporte tous les points.

À chaque niveau, une série compte deux nombres pièges, qui ont tout l'air d'être premiers sans l'être : 91 au premier niveau, 221 = 13 × 17 au deuxième, 1 207 = 17 × 71 au troisième. Les huit nombres d'une série arrivent du plus petit au plus grand.

Le score, le défi du jour et le classement

Ton score part de 10 000 points, moins un point par dixième de seconde. Chaque erreur, un mauvais diviseur ou un faux « premier », ajoute 10 secondes à ton temps. Le total est ensuite multiplié par le pourcentage du niveau. Le chronomètre s'arrête pendant que la décomposition d'un arbre fini s'affiche : seul compte le temps où tu joues. Une série rapide et sans faute au niveau Grand chêne peut dépasser 8 000 points.

Le défi du jour propose une série de huit nombres au niveau Arbuste, la même pour tout le monde, renouvelée chaque nuit à minuit UTC. Tu peux le rejouer autant que tu veux : seul ton meilleur score de la journée figure au classement du jour. Chaque partie envoyée est rejouée geste par geste par le serveur, qui recalcule lui-même le temps et le score : personne ne peut annoncer un résultat qu'il n'a pas joué.

À plusieurs, en course

L'arbre des nombres premiers se joue aussi entre amis, de deux à quatre, chacun sur son écran. Sur la page du jeu, choisis « Jouer à plusieurs », puis « Créer une table » : la table reçoit un code. Envoie le lien ou dicte le code ; chacun le saisit par « Rejoindre », et c'est toi qui acceptes les demandes avant de lancer la course.

Tout le monde reçoit les mêmes huit nombres, au niveau Arbuste. Il n'y a pas de tour : chacun fend ses arbres à son rythme. Ici, une erreur ne coûte pas de temps, elle te gèle : la palette se couvre de givre pendant 3 secondes à la première erreur, 5 à la deuxième, puis 8 à chacune des suivantes. En haut de l'écran, tu vois où en sont les autres, leurs arbres finis et leurs erreurs. Le premier qui achève ses huit arbres gagne, et le classement suit : d'abord qui a fini, puis le nombre d'arbres, et à égalité, le moins d'erreurs. Les courses n'entrent pas au classement du jeu, qui reste celui des parties en solo.

À quoi servent les nombres premiers ?

Bien plus qu'à un exercice de collège. La décomposition sert d'abord à simplifier les fractions : 84/90, c'est (2² × 3 × 7) / (2 × 3² × 5), et en barrant les facteurs communs il reste 14/15. Elle donne aussi le plus grand diviseur commun et le plus petit multiple commun de deux nombres, celui qu'on cherche pour mettre deux fractions au même dénominateur.

Les nombres premiers protègent aussi tes échanges sur internet. Multiplier deux grands nombres premiers est facile pour un ordinateur ; retrouver ces deux nombres à partir de leur produit, quand ils ont des centaines de chiffres, est hors de portée des machines actuelles. Une grande partie du chiffrement qui sécurise les paiements en ligne repose sur cette dissymétrie. Au niveau Grand chêne, quand tu cherches longtemps le 17 caché dans 1 207, tu touches du doigt, en tout petit, la même difficulté.

Astuces

Commence toujours par les petits. Regarde d'abord le dernier chiffre : pair, c'est 2 ; 0 ou 5, c'est 5. Puis additionne les chiffres pour 3. Ces trois tests couvrent la grande majorité des nombres.

Retiens les vingt-cinq premiers sous 100. Au bout de chaque arbre, il faut décider si le dernier nombre est premier. Savoir par cœur que 51 = 3 × 17 et que 53 est premier évite à la fois l'erreur et l'hésitation.

Pense au carré. Dès que le carré du prochain premier à essayer dépasse le nombre, arrête-toi : il est premier.

Méfie-toi des nombres impairs qui ne finissent pas par 5. Ce sont eux, les pièges : 91, 119, 133, 143, 169, 187, 209, 221. Un rapide calcul de tête par 7, 11 ou 13 te sauvera dix secondes.

Au clavier, tape le diviseur. Pour 13, tape 1 puis 3 ; un chiffre qui ne peut commencer aucun autre premier de la palette, comme 5 ou 7, part dès la touche frappée, et Entrée valide sans attendre. La touche P déclare premier, et les flèches circulent entre les touches de la palette.

Questions fréquentes

Faut-il payer ou s'inscrire pour jouer ?

Ni l'un ni l'autre. Le jeu est gratuit et s'ouvre dans ton navigateur ; pour le classement, un pseudonyme choisi au premier score suffit.

Le nombre 1 est-il premier ?

Non. Un nombre premier a exactement deux diviseurs, 1 et lui-même. Le nombre 1 n'en a qu'un. C'est aussi ce qui rend la décomposition unique : si 1 était premier, on pourrait l'ajouter autant de fois qu'on veut.

Que se passe-t-il quand je me trompe ?

La ligne d'explication te dit pourquoi, et ton chronomètre prend 10 secondes de pénalité. Le nombre reste en place : tu recommences avec un autre diviseur. Tu ne perds jamais la partie.

Pourquoi la palette ne montre-t-elle pas tous les nombres premiers ?

Parce que ce n'est pas utile. Un nombre composé a toujours un facteur premier dont le carré ne le dépasse pas : jusqu'à 100, il suffit de 2, 3, 5 et 7. Le dernier nombre de chaque arbre, lui, se déclare premier avec la touche « Premier ».

L'ordre des divisions compte-t-il ?

Non pour le résultat : la décomposition est la même, quel que soit le chemin. Oui pour la vitesse : commencer par les petits facteurs, faciles à repérer, est presque toujours le plus rapide.

Peut-on jouer au clavier ?

Oui, entièrement. Tape le diviseur au clavier numérique ou sur la rangée de chiffres, appuie sur P pour déclarer un nombre premier, et utilise les flèches et la touche Tab pour parcourir les touches.

À partir de quel âge peut-on jouer ?

Le niveau Jeune pousse se joue dès 10 ans, quand les tables de multiplication sont connues. Les niveaux Arbuste et Grand chêne visent le collège et le lycée, et les adultes qui veulent garder l'esprit vif.

Le défi du jour change-t-il à la même heure pour tous ?

Oui. La série est remplacée à minuit UTC, au même instant pour tout le monde ; l'heure de ton appareil n'y change rien.